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課程名稱 |
複幾何
Complex Manifolds |
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開課學期 |
106-1 |
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授課對象 |
理學院 數學系 |
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授課教師 |
齊震宇 |
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課號 |
MATH5336 |
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課程識別碼 |
221 U5890 |
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班次 |
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學分 |
3.0 |
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全/半年 |
半年 |
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必/選修 |
選修 |
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上課時間 |
星期一4(11:20~12:10)星期四3,4(10:20~12:10) |
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上課地點 |
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備註 |
上課教室：新數103
總人數上限：20人 |
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Ceiba 課程網頁 |
http://ceiba.ntu.edu.tw/1061MATH5336_CG |
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課程簡介影片 |
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核心能力關聯 |
本課程尚未建立核心能力關連 |
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課程大綱
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為確保您我的權利,請尊重智慧財產權及不得非法影印
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課程概述 |
複幾何是研究複流形與全純向量叢的一門學問，為十九世紀黎曼面研究在高維度的自然延續。其研究對象與代數幾何及微分幾何有不少重疊，同時研究手法與觀點多樣，所以形成了近代數學中一個內容豐富的版塊。我們將介紹它的基礎理論以及至今的一些重要發展。
請注意，台灣大學學生欲選修本課程需索取授權碼。選課者需做相當程度的預習工作(見下方「課程要求」項目)，並在開學前與授課者約時間面談一次(請寄email至chi@math.ntu.edu.tw)，經授課者同意後方能取得授權碼。其他學校學生在選課系統上或許無索取授權碼的限制，但強烈建議一樣要跟授課者面談，確認事前準備的狀況與需要，方能有好的學習成效。 |
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課程目標 |
本課程假設參加者已經熟悉了一些題材，詳見下方「課程要求」項目。在此基礎之上，本課程大略分為兩個階段。第一階段談論複流形的基礎知識，第二階段談論進階題材。
第一階段：目標是介紹小平邦彥(K. Kodaira)的嵌入定理。該定理從全純向量叢與度量的角度刻劃了可以實現為複射影空間子流形的複流形。此一結果是後來複幾何中許多重要發展的開端，同時它的建立綜合了下列多項基本概念，它們是本階段要介紹的主要題材：
1. 層(sheaf)與其上同調；Dolbeault上同調(de Rham定理在全純向量叢的對應物)
2. 橢圓微分算子理論；橢圓複體(elliptic complex)及其Hodge分解；(帶有hermite度量的全純向量叢的)調和形式(harmonic forms)
3. 向量叢上的連絡(connection)與其曲率張量(curvature tensor)；
4. 全純線叢(line bundle)、除子(divisor)與其第一陳類
5. 全純向量叢的正性(positivity)與上同調消沒定理(vanishing theorem)
6. 將複流形沿著一子流形「爆破」(blow up)的構造
7. 小平嵌入定理
過程中我們還會介紹以下相關題材：
8. Serre對偶定理(Poincare對偶定理在全純向量叢的對應物)).
9. 緊緻Kähler流形上同調的Hodge結構(亦稱Hodge分解)與Lefschetz分解
第二階段：下列題材是複幾何從二十世紀50年代末期至今的一些核心概念或重要結果，我們將會挑選講述其中一部分，而將其它部分做為參加者口頭報告的題目：
- 形變理論(deformation theory)
- 緊緻複曲面的分類
- Deligne的混和Hodge結構(mixed Hodge structure or MHS)理論
- Hörmander關於一階偏微分算子的L2估計理論
- Hodge結構的形變(variation of Hodge structures或VHS)
- 丘成桐(S.-T. Yau)對於Calabi猜想的證明
- Donaldson-Uhlenbeck-丘定理
- 多重次調和(plurisubharmonic或PSH)函數與正閉流(positive closed current)的基礎理論
- Demailly關於正閉流的正則化(regularization)
- 大澤-竹腰延拓定理(the Ohsawa-Takegoshi extension theorem)
- 多重次調和函數的Lelong數
- Demailly的全純Morse不等式
- 乘子理想(multiplier ideal sheaf)與Nadel消沒定理
- Skoda的理想大域生成性定理
- Angehrn與蕭蔭堂(Y.-T. Siu)關於藤田(Fujita)猜想的研究
- 蕭蔭堂-Păun對於多重虧格(plurigenera)不變性的證明
- 強開性猜想(strong openness conjecture)的證明 |
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課程要求 |
我們預設參加者熟悉下列基礎題材，具體內容可以(但不一定要)參考我在Youtube上的影片(後方連結)。這些材料中大部分不會在本課程中重新講述(前方有#者)；建議以下列的順序來做準備。
#導論；多複變函數基礎
www.youtube.com/watch?v=WhCmQ8cYcro&index=1&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl
www.youtube.com/watch?v=0NCdgoZ7J2U&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=2(至1:04:28為止)
#流形與向量叢的一般設定與性質
www.youtube.com/watch?v=0NCdgoZ7J2U&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=2(從1:04:28開始)
www.youtube.com/watch?v=VFVXZw00KRw&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=3
#預層、層與預層的層化(sheafification)
www.youtube.com/watch?v=gzL_qbTxKvs&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=5
#層的基本操作；賦環(ringed spaces)空間；Cech上同調
www.youtube.com/watch?v=qYHM2n1rvOo&index=6&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl
#由層的短正和列導出上同調的長正和列
www.youtube.com/watch?v=y5QaG4NR6As&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=7
#細(fine)層與層的細消解(fine resolution)
www.youtube.com/watch?v=kfilz_O2yN4&index=8&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl(從21:50開始)
#全純函數的零點─Weierstrass準備定理及其推論
www.youtube.com/watch?v=7303fQ-yfLA&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=20(從22:20開始)
www.youtube.com/watch?v=pTbWeK-x_H8&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=21(至11:54為止)
另外有些部分則是會採翻轉教室方式(下方有*者)，即課前先預習，課堂上討論，這部分內容即使在課堂上講也會是相當簡略的回顧，所以請要參加本課程的同學務必做好預習的工作，就算在開學前沒辦法全看完，也應在學期進行中盡快預習與課程相關的部分。
*切空間與切叢；複結構與近複結構(almost complex structure)；Dolbeaut-Grothendieck引理
www.youtube.com/watch?v=grfro6awzLg&index=9&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl
*線性微分算子與其層論描述─Peetre定理；算子的符號(symbol)；連絡(作為一階微分算子的例子)
www.youtube.com/watch?v=Em3zDd2cdpI&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=10
*Hermitian線性代數
www.youtube.com/watch?v=zE95tiVwZcM&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=11
*複流形、全純向量叢與Kähler度量；Levi-Civita連絡與陳省身連絡的比較
www.youtube.com/watch?v=Rkmh5-KBBvM&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=16
*連絡與向量叢的陳形式；與聯絡有關的一些量與操作
www.youtube.com/watch?v=eqSc5LuC-ag&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=17
www.youtube.com/watch?v=56A-thod9U4&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=18(至38:51為止)
*Bochner小平公式與小平-中野消沒定理
www.youtube.com/watch?v=56A-thod9U4&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=18(從38:51開始)
*Kähler等式與Lefschetz分解
www.youtube.com/watch?v=McDEvksX2dk&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=19
www.youtube.com/watch?v=7303fQ-yfLA&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=20(至21:57為止)
*線叢(line bundles)、除子(divisors)與亞純函數(meromorphic function)
www.youtube.com/watch?v=pTbWeK-x_H8&list=PLp24IEwWwtLKDKYxbQ8NuGT6pN94RsfBl&index=21(從11:54開始)
我們希望參加者對於微分流形與代數拓樸有過一些經驗。最後，雖然不會大量使用到代數，但對交換代數與同調代數有一定的熟悉度會有些幫助。 |
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預期每週課後學習時數 |
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Office Hours |
備註： 開學後決定 |
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指定閱讀 |
待補 |
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參考書目 |
Kodaira, Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures, Ch. 1, 2, and 3.
Kodaira and Morrow, Complex Manifolds, Ch. 1, 2, and 3.
Demailly, Complex Analytic and Differential Geometry
(https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/analmeth_book.pdf)
內含許多技術性的內容以及相對於傳統書籍較晚近的處理手法。這是很有用的參考資料，但建議在建立了大致圖像後再來閱讀，以免失在技術性的細節中。
Griffiths and Harris, Principles of Algebraic Geometry
本書是最頻繁被採用的複幾何教科書，其優點是選材精要，缺點是筆誤與邏輯錯誤不少，故閱讀時需小心。
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評量方式
(僅供參考) |
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No. |
項目 |
百分比 |
說明 |
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1. |
口頭報告 |
50% |
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2. |
習題繳交 |
50% |
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週次 |
日期 |
單元主題 |
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第1週 |
9/11,9/14 |
9/11 導論；與複流形有關的一些原始問題；映至射影空間的映射與全純線叢的截面的關聯；小平嵌入定理的證明構想─為何會需要消沒定理以及將流形在一點爆破？
9/14 (講義導讀) 線性微分算子；算子的階數與符號(symbol)；形式伴隨算子；弱微分；Sobolev空間；Rellich引理與Sobolev引理；橢圓算子；Gårding不等式 |
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第2週 |
9/18,9/21 |
9/18 (講義導讀) 橢圓算子的正則性定理
9/21 (講義導讀) 橢圓算子的有限性定理 |
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第3週 |
9/25,9/28 |
9/25 Green算子；橢圓複體(elliptic complex)；Hodge-小平定理
9/28 實向量空間上的對稱非退化乘積與複向量空間上的非退化hermitian積的關聯；複流形上的hermitian metrics；Kähler流形的概念 |
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第4週 |
10/02,10/05 |
10/02 由張量操作導出的非退化乘積；Hodge星號算子
10/05 Serre對偶定理；向量空間/向量叢上的度量；向量叢上聯絡的曲率張量 |
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